关于平面几何问题的探讨——化不规则图形为规则图形

(考德上教师刘智)

在公务员考试中，行测几何问题一般分为平面几何和立体几何，不但考查了点、线、面、体的相关知识，也综合考查了几何问题和其他知识点，而且现在越来越多的几何题与实际生活联系在一起，考查考生的分析、处理、逻辑思维能力。

今天考德上与考生朋友一起探讨下公务员行测考试的平面几何题型。当我们看到一个关于求解平面面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积，这就是解决这一类问题的核心思想：化不规则图形转化成规则图形。

那么怎样把不规则的图形转化成为规则图形呢?这里我们介绍三种方法：“割”、“补”、“等积转化”。下边以2007年山东的一道试题为例题。

下图中的甲和乙都是正方形，BE=6厘米，EF=4厘米。那么，阴影部分ABC的面积是多少平方厘米?( )。(山东2007年)

A.20 B.24 C.21 D.18

方法一(割法)：

(1)设AE交BC与H点，AH把△ABC，割成△ABH和△ACH。以AH为底，一个高是6一个高是4，AD=6-4=2，因为△BFC∽△CDH，DH=8/5，AH=18/5;

(2)设CD的延长线交AB与H点，CH把△ABC，割成△AHC和△BHC。以HC为底，一个高是2一个高是4，HC=HD+DC=2+4=6。

(3)连接BD，△ABC=△ADC+△ABD+△BCD=4+6+8=18。

方法二(补法)：

(1)延长AC、BF交与O点，阴影面积=△ABO—△CBO，因为△ADC∽△AEO，EO=12;

(2)延长BA、FC交与O点，阴影面积=△BCO—△ACO，因为△BEA∽△BFO，CO=6;

(3)补齐这个大的矩形，延长GA，FC交与O点。阴影面积=矩形—△ABG—△ACO—△BCF=60-18-20-4=18。

方法三(等积转化)：

连接CE，AB∥CE(因为∠ABE=∠CEF=45°)，△ABC和△ABE同底等高，所以△ABC和△ABE面积相等。6×6×1/2=18。

首先通过这道题是想打开大家的思路起一个抛砖引玉的作用，解这道题肯定远远不止这么几种方法，也许还有更多更快捷的解法。其次，大家都明白在真正的行测考试中时间是很宝贵的，怎样在最短的时间内找到最简单的解法是公务员考试成功的关键。就像这道题如果你能第一时间想到等积转化这个思想，那无疑在解题的时间上你是占有优势的。这种感觉思路怎么来?这就需要我们在平时多练习，多开阔自己自己的思路，把每一道题都想深一点想透一点，而不仅仅是只要求自己会做会解。一定要多问问自己这样解是不是最快的方法，有没有更快捷的方法。

下面再来看一道2009年天津的题，巩固下我们的刚才说的割补法。在下图中，大圆的半径是8，求阴影部分的面积是多少?(天津2009年上)

A、120 B、138 C、136 D、144

这道题就不写那么多种解法了，写一种相对简单一点的方法和大家一起学习下。先做几条辅助线如下图，看看能不能启发下大家的解题思路。

解(割法)：将AC半圆平移到BO半圆处，BA半圆平移到OC半圆处，那么求其中一个小圆中的阴影部分的面积是不是就是转化成求ABOC这个正方形的面积。四个小圆转化成的四个正方形正好组成一个大正方形。又已知大正方形的对角线是16。所以总阴影的面积为：16×16÷2=128。

这道题充分应用了割和补的方法把他们巧妙的结合在了一起，把一个看似一点都不规则的图形转化成一个规则图形。只要想到这种转化，这种题目是属于那种直接可以秒杀的题。

所以说题不在于做多，而在于做精。据考德上师资对公务员考试行测数量关系的多年研究，把握好考点，掌握好解题思路，运用好“割”、“补”、“等积转化”，这个三个方法，化不规则图形为规则图形是解好行测中平面几何的一大法宝。

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