一、余数问题的由来
我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题: “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,3个3个地数余2个,5个5个地数余3个,7个7个地数余2个,问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
二、余数问题的解法
余数问题核心基础公式
余数基本关系式:被除数÷除数=商……余数(0≤余数<除数)
余数基本恒等式:被除数=除数×商+余数
在我们公务员行测考试中,一般余数问题有三种解法。
(一)同余问题核心口诀
“余同加余,和同加和,差同减差,除数最小公倍数作周期”
1、余同:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时该数可以选这个相同的余数,余同取余。
例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取1,表示为60n+1。
2、和同:用一个数除以几个不同的数,得到的余数和除数的和相同,此时该数可以选这个相同的和数,和同加和。
例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,则取7,表示为60n+7。
3、差同:用一个数除以几个不同的数,得到的余数和除数的差相同,此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数,差同减差。
例:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,则取-3,表示为60n-3。
例:自然数P满足下列条件:P除以10的余数为9,P除以9的余数为8,P除以8的余数为7。如果:100<P<1000,则这样的P有几个?
A.不存在 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C。解析:P除以8= ……7,P除以9=……8,P除以 10= ……9,差同,找除数8,9,10的公倍数360,所以有,100小于360N-1小于1000,所以有359和719两个数
(二)剩余定理
如果两个数相加和为另一个数字,如A+B=C.则ABC同时除以一个数字所剩的余数也满足这样的等式。如A除以3余m,B除以3余n,C除以3余0,则m+n一定是3的倍数。
例1. 6802-162×122-4642 =( )
A.210 240 B.196 000 C.197 100 D.198 000
【答案】A。解析:直接计算过于麻烦,利用剩余定理680、16×12、464均是8的倍数,则它们的平方都是8的平方即64的倍数。原式的值应是64的倍数,选项中只有A是64的倍数。
例2.买5件甲商品和3件乙商品,需要348元,如果买3件甲和2件乙,需要216元,那么单卖一件甲商品需要多少钱?( )
A.48B.46C.34D.32
【答案】A。解析一:5x+3y=348,3x+2y=216。2式乘以2再减去1式得x+y=84,带入1式可得x=48.
解析二:剩余定理。5x+3y=348。348除以3余数是0.3y除以3余数也为0,根据剩余定理可知5x也要是3的倍数,则只有可能x是3的倍数,选项中3的倍数只有A。
例3.药箱里有六箱货物,分别重15、16、18、19、20、31千克,两个顾客买走了其中的五箱,已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,商店里剩下的一箱货物重多少千克?( )
A. 16 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】D解析:设买的少的顾客买了x,则另一个买了2x。剩余的一箱为m,则总的六箱为3x+m=119,119除以3余数为2,3x除以3余数也为2.根据剩余定理可知m除以3余数应该为2,四个选项中除3余数为2的只有D选项。
(三)余不同、和不同、差不同
主要针对“公倍数做周期:余同取余,和同加和,差同减差”以外的余数问题的题目,这一类题主要转化为余同、合同或差同来解决。
例:一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有?
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】A。解析 :如同上题做,不过分两步,如,P除以9= ……7,P除以5= ……2,P除以4= ……3先看下面后两个,是和同(余数同除数的和相同,和同加和,就是加除数最小公倍数的N倍加和)5*4N+7=20n+7,得到的20n+7可看成P除以20= ……7,与第一个又成为余同,余同加余,20*9n+7=180n+7,所以有100小于180n+7小于等于999。
更多资料请关注公务员考试网
|